En el centro de la galaxia hay un enorme hotel que tiene un número infinito de habitaciones, que se extiende hasta un espacio de dimensión superior a través de un agujero negro. Las habitaciones estan numeradas del 1 en adelante.
Un día que estando ocupadas todas las habitaciones llego un nuevo huesped y a pesar de no disponer de habitaciones, el gerente del hotel consiguio darle alojamiento. ¿Como? simplemente traslado al huesped de cada habitación a la habitación siguiente ( Recuerda que hay infinitas habitaciones) de este modo la habitación número 1 queda libre. Al día siguiente llegaron dos parejas de novios para celebrar su luna de miel. ¿Cómo podemos alojarlo? El gerente traslado a cada ocupante a una habitación dos unidades mayor. De modo que, las dos parejas ocuparon las habitaciones 1 y 2.
Ese fin de semana llegaron infinitos jubildados de vacaciones, ¿Cómo dar alojamiento a un número infinito de jubilados? El gerente hará mudarse a cada inquilino, llevandolo a una habitación de número el doble del que tenía. Así todos los inquilinos antiguos quedan alojados en habitaciones pares y las habitaciones impares que son infintas quedan libres para los jubilados. ¿Sorprendido verdad?
Una importante caracteristica de los conjutos infinitos pueden ponerse como correspondecia biunívoca con algún subcojunto propio. Por ejemplo el conjunto infinito de números naturales se puede hacer corresponder de forma biunivoca con el subconjunto de números pares mediante la aplicación f(n)=2n
El hotel infinito es sólo una de las muchas paradojas ,porque aunque el número de números naturales es infinito, es el más bajo de una escalera de infinitos descubierta por el matemático alemán George Cantor. Cantor descubrió que ciertos conjuntos infinitos eran "mayores" que otros.
Llamamos cardianal de un conjunto al número de elementos de dicho conjuto. Por ejemplo: El cardianal del conjunto de días de la semana es 7. Cantor llamo álef subcero al cardinal del conjunto de los números naturales pero encontro que el conjunto de números reales forman un subconjunto infinito mayor pues no se puede poner en correspondecia biunívoca con el conjunto de números naturales. Llamo álef subuno al cardinal del conjunto de números naturales. La escalera con el álef prosigue ascendiendo ilimitadamente.
El cardinal del conjunto de los números reales es denonata cm y se la conoce por " potencia del continua" , cantor no pudo probar que c=áleph subuno. Años más tarde Gödel y Cohen establecieron que la hipótesis era indecible a partir de los axiomas ordinarios de la teoria de conjuntos en consecuencia la teoria de conjuntos esta divida en dos ramas la teoria cantoriana y no cantoriana ( entre c y aleph subcero hay infinidad de números transfinitos intermedios.
La famosa hipoteis del continuo ( Conjetura de cantor)
